CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

POR DIEGO LÁZARO

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Para poder determinar si dos figuras geométricas son congruentes se pueden aplicar ciertos criterios.

Criterio lado, lado, lado (L-L-L)

En este criterio se nos dice que si todos lo lados de un triángulo son o tienen las mismas dimensiones entonces estos serán congruentes.

a ≡ a’

b ≡ b’

c ≡ c’ → triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’

3cm = 3cm

3.6cm = 3.6cm

2cm = 2cm

Criterio lado, ángulo, lado (L-A-L)

Este criterio nos dice que si en dos triángulos tenemos dos lados consecutivos y el ángulo comprendido entre ellos tienen medidas iguales entonces estos triángulos son congruentes.

b ≡ b’ c ≡ c’

α ≡ α’

→ triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’

Criterio ángulo, lado, ángulo (A-L-A)

Este criterio se refiere al hecho de que si un lado tiene la misma medida y los ángulos que se forman en los extremos de dicho vértice son iguales entonces esos triángulos son congruentes.

b ≡ b’ α ≡ α’ β ≡ β’ → triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’

5 = 5

40°=40°

100°=100°

Criterio lado, lado, ángulo (L-L-A)

Este criterio dice que si dos lados son de igual medida en los triángulos y además si el ángulo opuesto al mayor de los lados tienen de la misma magnitud, entonces ese triángulo debe ser congruente.

a ≡ a’ b ≡ b’ β ≡ β’ → triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales. Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

Se cumple que la razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es también la razón de semejanza y que la razón de sus áreas es el cuadrado de la razón de semejanza:

Los ángulos homólogos son iguales:

A r se le denomina razón de semejanza

Al igual que con la congruencia en la semejanza también existen criterios para determinar si un dos triángulos son semejantes o no.

Criterio ángulo, ángulo (A-A)

Dice que si dos de sus ángulos son iguales, entonces esos triángulos son semejantes (el tercer ángulo también sera igual debido a que los ángulos suman 180°).

30°= 30°

60°= 60°

Criterio lado, ángulo, lado (L-A-L)

Pare este los lados deben ser consecutivos y proporcionales y el ángulo que se crea entre ellos da como resultado que los triángulos son semejantes.

Criterio lado, lado, lado (L-L-L)

Esta se refiere al hecho de que todos los lados correspondientes sean proporcionales o tengan la misma razón de semejanza.

TRIÁNGULOS DE TALES

El Teorema de Tales dice: Si dos rectas, no necesariamente paralelas, son cortadas por un sistema de rectas paralelas, entonces los segmentos que resultan sobre una de las dos rectas son proporcionales a los correspondientes segmentos obtenidos sobre la otra.

Y, por tanto, se cumple que: